三角学示例

$\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4}) = \csc (x)$

解题步骤 1

将方程重写为 $\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 2

化简 $\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要将 $\frac{5 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{3 π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $\frac{5 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

解题步骤 2.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{12})$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4 - 3 π \cdot 3}{12})$

解题步骤 2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 3 π \cdot 3}{12})$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 9 π}{12})$

解题步骤 2.5.3

从 $20 π$ 中减去 $9 π$ 。

$\csc (x) = \sec (\frac{11 π}{12})$

解题步骤 2.6

$\sec (\frac{11 π}{12})$ 的准确值为 $- \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{12})$

解题步骤 2.6.2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.6.3

应用角度恒等式的差。

$\csc (x) = - \frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.4

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.5

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.6

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.7

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.8

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.9

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.10

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6.11

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12

化简 $- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.1.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.1.2

组合 $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.1.3

组合 $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \cdot \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.2

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.3.6.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.6.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.3.6.5

计算指数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.5

组合 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.6.12.2.6

组合 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.7

将 $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.8.1

将 $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.8.6.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.6.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}}$

解题步骤 2.6.12.2.8.6.5

计算指数。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.2.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.2.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.2.9.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.2.10

要将 $2 \sqrt{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.2.11

组合 $2 \sqrt{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.2.12

在公分母上合并分子。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.2.13

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.5.1

把 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ 组合为一个单根式。

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.5.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.2.2.2

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.2.2.3

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.3

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.5

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.5.6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.5.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.5.6.6.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.6.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.6.6.5

计算指数。

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.5.7

组合 $8$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

解题步骤 2.6.12.6

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

解题步骤 2.6.12.7

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.7.1

约去公因数。

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

解题步骤 2.6.12.7.2

重写表达式。

$\csc (x) = - (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

解题步骤 2.6.12.8

组合 $\frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ 和 $8$ 。

$\csc (x) = - (\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

解题步骤 2.6.12.9

组合 $\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

解题步骤 2.6.12.10

约去 $8$ 和 $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.10.1

从 $8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

解题步骤 2.6.12.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.10.2.1

从 $6 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6}}$

解题步骤 2.6.12.10.2.2

从 $2 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})}$

解题步骤 2.6.12.10.2.3

从 $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

解题步骤 2.6.12.10.2.4

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

解题步骤 2.6.12.10.2.5

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

解题步骤 2.6.12.11

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ 。

$\csc (x) = - (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}})$

解题步骤 2.6.12.12

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

解题步骤 2.6.12.13

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 2.6.12.14

化简。

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$

解题步骤 2.6.12.15

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.15.1

从 $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{12}$

解题步骤 2.6.12.15.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.15.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.12.15.2.2

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.12.15.2.3

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.6.12.16

运用分配律。

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.6.12.17

乘以 $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.17.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.6.12.17.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.6.12.18

乘以 $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.18.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

解题步骤 2.6.12.18.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{18}}{3}$

解题步骤 2.6.12.19

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.19.1

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.19.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{9 (2)}}{3}$

解题步骤 2.6.12.19.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

解题步骤 2.6.12.19.2

从根式下提出各项。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - (3 \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.6.12.19.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.6.12.20

约去 $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.20.1

从 $3 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) - 3 \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.6.12.20.2

从 $- 3 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.6.12.20.3

从 $3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.6.12.20.4

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.20.4.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 (1)}$

解题步骤 2.6.12.20.4.2

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.12.20.4.3

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 2.6.12.20.4.4

用 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\csc (x) = - (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

解题步骤 2.6.12.21

运用分配律。

$\csc (x) = - \sqrt{6} - - \sqrt{2}$

解题步骤 2.6.12.22

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.12.22.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc (x) = - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}$

解题步骤 2.6.12.22.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\csc (x) = - \sqrt{6} + \sqrt{2}$

解题步骤 3

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\csc (x) = - 1.03527618$

解题步骤 4

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 1.03527618)$

解题步骤 5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算 $arccsc (- 1.03527618)$ 。

$x = - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 6

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π$

解题步骤 7

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

从 $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π - 2 π$

解题步骤 7.2

得出的角 $\frac{17 π}{12}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ 共边。

$x = \frac{17 π}{12}$

解题步骤 8

求 $\csc (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{5 π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{5 π}{12} + 2 π$

解题步骤 9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 9.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

解题步骤 9.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.4.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24 π - 5 π}{12}$

解题步骤 9.4.2

从 $24 π$ 中减去 $5 π$ 。

$\frac{19 π}{12}$

解题步骤 9.5

列出新角。

$x = \frac{19 π}{12}$

解题步骤 10

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{17 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例