三角学示例

$\sin (\frac{x}{2}) - \cos (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 1

将方程中的每一项都除以 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} + \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{0}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ 转换成 $\tan (\frac{x}{2})$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) + \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{0}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 3

约去 $\cos (\frac{x}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\tan (\frac{x}{2}) + \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} = \frac{0}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = \frac{0}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 4

分离分数。

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 转换成 $\sec (\frac{x}{2})$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (\frac{x}{2})$

解题步骤 6

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0 \sec (\frac{x}{2})$

解题步骤 7

将 $0$ 乘以 $\sec (\frac{x}{2})$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

解题步骤 8

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

解题步骤 9

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

解题步骤 10

化简右边。

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解题步骤 10.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

解题步骤 11

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 12

化简方程的两边。

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解题步骤 12.1

化简左边。

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解题步骤 12.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 12.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 12.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 13

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 14

求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

解题步骤 14.2

化简方程的两边。

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解题步骤 14.2.1

化简左边。

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解题步骤 14.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

解题步骤 14.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

解题步骤 14.2.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.2.1

化简 $2 (π + \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 14.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

解题步骤 14.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 14.2.2.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

解题步骤 14.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 14.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.2.1.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

解题步骤 14.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 14.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

解题步骤 14.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 14.2.2.1.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 14.2.2.1.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 15

求 $\tan (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 15.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 15.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 15.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 15.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 2$

解题步骤 15.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 π$

解题步骤 16

$\tan (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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