三角学示例

$\ln (1 - x) + \ln (7 - x) = \ln (16)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((1 - x) (7 - x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (7 - x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (1 (7 - x) - x (7 - x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\ln (1 \cdot 7 + 1 (- x) - x (7 - x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\ln (1 \cdot 7 + 1 (- x) - x \cdot 7 - x (- x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\ln (7 + 1 (- x) - x \cdot 7 - x (- x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (7 - x - x \cdot 7 - x (- x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (7 - x - 7 x - x (- x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (7 - x - 7 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\ln (7 - x - 7 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (7 - x - 7 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (7 - x - 7 x + 1 x^{2}) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (7 - x - 7 x + x^{2}) = \ln (16)$

解题步骤 1.3.2

从 $- x$ 中减去 $7 x$ 。

$\ln (7 - 8 x + x^{2}) = \ln (16)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$7 - 8 x + x^{2} = 16$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$7 - 8 x + x^{2} - 16 = 0$

解题步骤 3.2

从 $7$ 中减去 $16$ 。

$- 8 x + x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$- 8 u + u^{2} - 9 = 0$

解题步骤 3.3.2

使用 AC 法来对 $- 8 u + u^{2} - 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 9$ ，和为 $- 8$ 。

$- 9, 1$

解题步骤 3.3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 9) (u + 1) = 0$

解题步骤 3.3.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x - 9) (x + 1) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 3.6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(x - 9) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 9, - 1$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (1 - x) + \ln (7 - x) = \ln (16)$ 成立的解。

$x = - 1$

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