三角学示例

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\ln (x^{3}) = 6$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (x^{3}) = 6$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{6} = x^{3}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x^{3} = e^{6}$ 。

$x^{3} = e^{6}$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $e^{6}$ 。

$x^{3} - e^{6} = 0$

解题步骤 4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

将 $e^{6}$ 重写为 ${(e^{2})}^{3}$ 。

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

解题步骤 4.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = e^{2}$ 。

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

解题步骤 4.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 ${(e^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

解题步骤 4.3.3.2

重新排序项。

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

解题步骤 4.5

将 $x - e^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x - e^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x - e^{2} = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $e^{2}$ 。

$x = e^{2}$

解题步骤 4.6

将 $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ 设为等于 $0$ 。

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

解题步骤 4.6.2

求解 $x$ 的 $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = e^{2}$ 和 $c = e^{4}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3

化简。

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解题步骤 4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.2.3.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ 重写为 ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{2}$ 和 $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.3

化简。

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解题步骤 4.6.2.3.1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.3.2

将 $e^{2}$ 和 $2 e^{2}$ 相加。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 4.6.2.3.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.4

从 $e^{2}$ 中减去 $2 e^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.5

合并指数。

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解题步骤 4.6.2.3.1.5.1

提取负因数。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.5.2

通过指数相加将 $e^{2}$ 乘以 $e^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.2.3.1.5.2.1

移动 $e^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.5.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.6

将 $- 3 e^{4}$ 重写为 ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.6.2.3.1.6.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.6.2

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.6.3

将 $e^{4}$ 重写为 ${(e^{2})}^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.6.4

移动 $3$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.6.5

将 $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ 重写为 ${(i e^{2})}^{2}$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.1.7

从根式下提出各项。

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.6.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.7

最终解为使 $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ 成立的所有值。

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

三角学 示例

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