三角学示例

$z = \sqrt{3} - i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \sqrt{3}$ 和 $b = - 1$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{1 + 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{1 + 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$| z | = \sqrt{4}$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 2$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 1}{\sqrt{3}})$

解题步骤 6

因为 $\frac{- 1}{\sqrt{3}}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- \frac{π}{6}$ 。

$θ = - \frac{π}{6}$

解题步骤 7

代入 $θ = - \frac{π}{6}$ 和 $| z | = 2$ 的值。

$2 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 8

使用三角函数替换等式的右边。

$z = 2 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

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