三角学示例

$12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ , $0 < x < 2 π$

解题步骤 1

将 $12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 \cos^{2} (x - 9)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \cos^{2} (x - 9)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\cos^{2} (x - 9)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x - 9) = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$\cos^{2} (x - 9) = 0$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cos (x - 9) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\cos (x - 9) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x - 9) = \pm 0$

解题步骤 3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\cos (x - 9) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x - 9 = \arccos (0)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x - 9 = \frac{π}{2}$

解题步骤 6

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = \frac{π}{2} + 9$

解题步骤 7

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x - 9 = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x - 9 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.1.2

合并分数。

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解题步骤 8.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x - 9 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - 9 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.1.3

化简分子。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x - 9 = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 8.1.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x - 9 = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = \frac{3 π}{2} + 9$

解题步骤 9

求 $\cos (x - 9)$ 的周期。

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解题步骤 9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 10

$\cos (x - 9)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 9 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 9 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + 9 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

求在区间 $(0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 12.1

将 $- 3$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 12.1.1

将 $- 3$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + 9 + π (- 3)$

解题步骤 12.1.2

化简。

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解题步骤 12.1.2.1

将 $- 3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π}{2} + 9 - 3 π$

解题步骤 12.1.2.2

要将 $- 3 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} - 3 π \cdot \frac{2}{2} + 9$

解题步骤 12.1.2.3

合并分数。

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解题步骤 12.1.2.3.1

组合 $- 3 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} + \frac{- 3 π \cdot 2}{2} + 9$

解题步骤 12.1.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π - 3 π \cdot 2}{2} + 9$

解题步骤 12.1.2.4

化简每一项。

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解题步骤 12.1.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.2.4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{π - 6 π}{2} + 9$

解题步骤 12.1.2.4.1.2

从 $π$ 中减去 $6 π$ 。

$\frac{- 5 π}{2} + 9$

解题步骤 12.1.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 π}{2} + 9$

解题步骤 12.1.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $- \frac{5 π}{2} + 9$ 。

$x = - \frac{5 π}{2} + 9$

解题步骤 12.2

将 $- 2$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 2$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + 9 + π (- 2)$

解题步骤 12.2.2

化简。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $- 2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π}{2} + 9 - 2 π$

解题步骤 12.2.2.2

要将 $- 2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2} + 9$

解题步骤 12.2.2.3

合并分数。

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解题步骤 12.2.2.3.1

组合 $- 2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2} + 9$

解题步骤 12.2.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π - 2 π \cdot 2}{2} + 9$

解题步骤 12.2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 12.2.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.2.4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{π - 4 π}{2} + 9$

解题步骤 12.2.2.4.1.2

从 $π$ 中减去 $4 π$ 。

$\frac{- 3 π}{2} + 9$

解题步骤 12.2.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 π}{2} + 9$

解题步骤 12.2.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $- \frac{3 π}{2} + 9$ 。

$x = - \frac{5 π}{2} + 9, - \frac{3 π}{2} + 9$

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