三角学示例

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

对 $4 y^{2} - 8 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 1.1.3.2.2

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.1.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 1.1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ 。

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.2

在方程 $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ 中，用 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ 代替 $4 y^{2} - 8 y$ 。

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

解题步骤 1.3

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

解题步骤 1.4

对 $- 25 x^{2} + 100 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

解题步骤 1.4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.4.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.2.1

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 25$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{50}{- 25}$

解题步骤 1.4.3.2.2

约去 $50$ 和 $- 25$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

移动 $\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

解题步骤 1.4.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.2.1.1

对 $100$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

解题步骤 1.4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

解题步骤 1.4.4.2.1.3

用 $10000$ 除以 $- 100$ 。

$e = 0 - - 100$

解题步骤 1.4.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 100$ 。

$e = 0 + 100$

解题步骤 1.4.4.2.2

将 $0$ 和 $100$ 相加。

$e = 100$

解题步骤 1.4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ 。

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

解题步骤 1.5

在方程 $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ 中，用 $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ 代替 $- 25 x^{2} + 100 x$ 。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

解题步骤 1.6

通过在等式两边同时加上 $100$ 的方法来将 $100$ 移到等式右边。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

解题步骤 1.7

化简 $196 + 4 - 100$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $196$ 和 $4$ 相加。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

解题步骤 1.7.2

从 $200$ 中减去 $100$ 。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

解题步骤 1.8

将每一项除以 $100$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

解题步骤 1.9

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

解题步骤 4

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

解题步骤 5

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

解题步骤 5.2

化简 $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ 。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.3

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

解题步骤 5.2.1.4.2

约去公因数。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

解题步骤 5.2.1.4.3

重写表达式。

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 5.2.1.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

解题步骤 5.2.2

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

解题步骤 6

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 6.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

解题步骤 6.2

化简 $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ 。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

解题步骤 6.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

解题步骤 6.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

解题步骤 6.2.1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

解题步骤 6.2.1.4.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

解题步骤 6.2.1.4.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

解题步骤 6.2.1.6

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

解题步骤 6.2.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

解题步骤 7

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

解题步骤 8

渐近线是 $y = \frac{5 x}{2} - 4$ 和 $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ 。

渐近线： $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

解题步骤 9

三角学 示例

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