三角学示例

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{8})}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1

$\cos (\frac{5 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 2

乘以 $- - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{8})}}$

解题步骤 5

$\cos (\frac{5 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 + \cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})}}$

解题步骤 5.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}}}$

解题步骤 5.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}}}$

解题步骤 5.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 5.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}}$

解题步骤 5.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}}$

解题步骤 5.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}}$

解题步骤 5.4.4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}}$

解题步骤 5.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}}$

解题步骤 5.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}}$

解题步骤 5.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}}$

解题步骤 5.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}}$

解题步骤 5.4.8

化简分母。

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解题步骤 5.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}}$

解题步骤 5.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}}$

解题步骤 6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}}$

解题步骤 8

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 9.2

重写表达式。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{1}{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}})}$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{(2 - \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}}$

解题步骤 12

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}}$

解题步骤 13

化简。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 14

将 $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

解题步骤 15.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 15.3

化简。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (2 - \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 16

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) (2 - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (2 - \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (2 - \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 16.3

运用分配律。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 17.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 17.1.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 的左侧。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 17.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 17.2

化简项。

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解题步骤 17.2.1

运用分配律。

$\sqrt{2 \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 17.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.2.1

约去公因数。

$\sqrt{2 \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 17.2.2.2

重写表达式。

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 17.2.3

组合 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 和 $\frac{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}$ 。

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} (4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2})}{2}}$

解题步骤 17.3

将 $2$ 移到 $2 - \sqrt{2}$ 的左侧。

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} (4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2}}$

解题步骤 18

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} (4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 19

合并分数。

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解题步骤 19.1

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} (4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 19.2

化简表达式。

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解题步骤 19.2.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 19.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20

化简每一项。

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解题步骤 20.1

化简分子。

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解题步骤 20.1.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{8 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot 4 + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2

化简。

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解题步骤 20.1.2.1

将 $4$ 移到 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 的左侧。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.3

乘以 $\sqrt{2 - \sqrt{2}} (2 \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 。

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解题步骤 20.1.2.3.1

对 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 ({\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.3.2

对 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 ({\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1}) + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{1 + 1} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.4

乘以 $\sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \sqrt{2 (2 - \sqrt{2})})$ 。

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解题步骤 20.1.2.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 (2 - \sqrt{2}))}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.4.2

对 $2 - \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{2 ({(2 - \sqrt{2})}^{1} (2 - \sqrt{2}))}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.4.3

对 $2 - \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{2 ({(2 - \sqrt{2})}^{1} {(2 - \sqrt{2})}^{1})}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{1 + 1}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3

化简每一项。

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解题步骤 20.1.3.1

将 ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $2 - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 20.1.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 重写成 ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.1.3.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 20.1.3.1.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 {(2 - \sqrt{2})}^{1} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.1.5

化简。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 (2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 + 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.5

将 $2 {(2 - \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 ${(2 + i^{2} \sqrt{2})}^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 20.1.3.5.1

将 $2$ 和 ${(2 - \sqrt{2})}^{2}$ 重新排序。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - \sqrt{{(2 - \sqrt{2})}^{2} \cdot 2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.5.2

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - \sqrt{{(2 + i^{2} \sqrt{2})}^{2} \cdot 2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.6

从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - ((2 + i^{2} \sqrt{2}) \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.7

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - ((2 - \sqrt{2}) \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.8

运用分配律。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.9

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 20.1.3.9.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}))}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}))}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10

化简每一项。

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解题步骤 20.1.3.10.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 20.1.3.10.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.1.3.10.1.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10.1.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - 2^{1})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10.1.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2)}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2} - 2)}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.11

运用分配律。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2}) - - 2}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - - 2}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.4

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.5

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$\sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} + 6 - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.1.6

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$\sqrt{\frac{14 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2

约去 $14 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 7 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.2

从 $4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 7 + 2 (2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.3

从 $2 (7) + 2 (2 \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.4

从 $- 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + 2 (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}) - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.5

从 $2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + 2 (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}) - 4 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.6

从 $- 4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}) + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.7

从 $2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.8

约去公因数。

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解题步骤 20.2.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2})}{2 (1)} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.8.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 (7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.8.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2}}{1} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 20.2.8.4

用 $7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 21

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 21.1

将 $2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 和 $2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 相加。

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}}$

解题步骤 21.2

从 $- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 中减去 $\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2}$ 。

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 21.3

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}}$

解题步骤 22

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot 2} - 4 \sqrt{2}}$

小数形式：

$1.49660576 \dots$

三角学 示例

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