三角学示例

sin (\frac{π}{12})

$\sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中，

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ 可以被拆分为

\frac{π}{3} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ 。

sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

解题步骤 2

使用正弦的差公式化简表达式。该公式表述为

sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B)

$\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)$ 。

sin (\frac{π}{3}) cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 3

去掉圆括号。

sin (\frac{π}{3}) cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

sin (\frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{3}}{2} cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.2

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3

乘以

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.2

使用根数乘积法则进行合并。

\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.3

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.4

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.6

乘以

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$0.25881904 \dots$

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