三角学示例

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

解题步骤 1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

解题步骤 2

化简 $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $- 4 \cos (2 x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

解题步骤 2.1.3

添加圆括号。

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

解题步骤 2.2

从根式下提出各项。

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

解题步骤 3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

解题步骤 4

将 $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.1.2.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (2 x) \leq 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x \leq \arccos (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x \leq \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4

将 $2 x \leq \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $2 x \leq \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.4.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x \leq \frac{π}{4}$

解题步骤 5.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

化简。

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解题步骤 5.6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.6.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.6.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 5.6.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5.6.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.6.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 5.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 5.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 5.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.6.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.6.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.6.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.7

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 5.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 5.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 5.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.8

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.10

使用每一个根建立验证区间。

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

解题步骤 5.11

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 5.11.1

检验区间 $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.11.1.1

选择区间 $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 5.11.1.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

解题步骤 5.11.1.3

左边的 $0.65364362$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 5.11.2

检验区间 $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.11.2.1

选择区间 $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 3$

解题步骤 5.11.2.2

使用原不等式中的 $3$ 替换 $x$ 。

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

解题步骤 5.11.2.3

左边的 $- 0.96017028$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 5.11.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 为真

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 为假

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 为真

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 为假

解题步骤 5.12

解由使等式成立的所有区间组成。

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

解题步骤 7

三角学 示例

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