三角学示例

$\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ 为 $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 3

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 4.6.5

计算指数。

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 5.2

对 $x \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 6.5

计算指数。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 8

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 8.2.3

重写表达式。

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 11

将 $\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{x}$

解题步骤 12

合并。

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

解题步骤 13

约去 $\sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

解题步骤 13.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{x}$

三角学 示例

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