三角学示例

$\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$ 为 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ 。

$\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.3

以因式分解的形式重写 $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ 乘以 $\frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ 。

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x \cdot x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 7

使用 FOIL 方法展开 $(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

合并 $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ 中相反的项。

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解题步骤 8.1.1

按照 $x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ 和 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)} x$ 重新排列因数。

$\sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.1.2

将 $- x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 和 $x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 相加。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.3

乘以 $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.3.2

对 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.4

将 ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 8.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 重写成 ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.4.5

化简。

$\sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 3) (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 3) + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.5.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.5.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.6

合并 $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 8.2.6.1

按照 $x \cdot - 3$ 和 $3 x$ 重新排列因数。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.6.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.6.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.7

化简每一项。

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解题步骤 8.2.7.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.7.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 9)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.8

运用分配律。

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} - - 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.2.9

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.3.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{0 + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.3.2

化简表达式。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 8.3.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{3^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 9

将 $\frac{3^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{3}{x})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 11

化简项。

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解题步骤 11.1

合并。

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 11.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 11.2.2

重写表达式。

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

解题步骤 12

化简分母。

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解题步骤 12.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

解题步骤 12.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

解题步骤 13

将 $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

解题步骤 14

合并和化简分母。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

解题步骤 14.2

对 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

解题步骤 14.3

对 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1}}$

解题步骤 14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}$

解题步骤 14.6

将 ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 14.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ 重写成 ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 14.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.6.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.6.4.2

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{1}}$

解题步骤 14.6.5

化简。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{(x + 3) (x - 3)}$

三角学 示例

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