三角学示例

$\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$ 为 $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$ 。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}$ 和 $b = 1$ 。

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + 1) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{u}{u}) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 5.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{u}{u}$ 。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1 \cdot \frac{u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 5.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{u}{u}$ 。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{- u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u}$ 乘以 $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}$ 。

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u \cdot u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 6.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 7

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} (\sqrt{u^{2} + 25} - u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

合并 $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)$ 中相反的项。

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解题步骤 8.1.1

按照 $\sqrt{u^{2} + 25} (- u)$ 和 $u \sqrt{u^{2} + 25}$ 重新排列因数。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} - u \sqrt{u^{2} + 25} + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.1.2

将 $- u \sqrt{u^{2} + 25}$ 和 $u \sqrt{u^{2} + 25}$ 相加。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + 0 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.1.3

将 $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

乘以 $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $\sqrt{u^{2} + 25}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $\sqrt{u^{2} + 25}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.2

将 ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ 重写为 $u^{2} + 25$ 。

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解题步骤 8.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u^{2} + 25}$ 重写成 ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.2.5

化简。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u \cdot u}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.4

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 8.2.4.1

移动 $u$ 。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - (u \cdot u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.2.4.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.3.1

合并 $u^{2} + 25 - u^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $u^{2}$ 中减去 $u^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{0 + 25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$\sqrt{\frac{25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 8.3.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 9

将 $\frac{5^{2}}{u^{2}}$ 重写为 ${(\frac{5}{u})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{5}{u})}^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5}{u} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 11

合并。

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 12

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

约去公因数。

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 12.2

重写表达式。

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 13

将 $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ 。

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 14

合并和化简分母。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ 。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 14.2

对 $\sqrt{u^{2} + 25}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25}}$

解题步骤 14.3

对 $\sqrt{u^{2} + 25}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1}}$

解题步骤 14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

解题步骤 14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}}$

解题步骤 14.6

将 ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ 重写为 $u^{2} + 25$ 。

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解题步骤 14.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u^{2} + 25}$ 重写成 ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 14.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 14.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.6.4.1

约去公因数。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 14.6.4.2

重写表达式。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{1}}$

解题步骤 14.6.5

化简。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{u^{2} + 25}$

三角学 示例

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