三角学示例

$\sin (\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arctan (\sqrt{3}))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\sin (\frac{π}{4} + \arctan (\sqrt{3}))$

解题步骤 1.2

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

解题步骤 2

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

解题步骤 3

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

解题步骤 6.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

解题步骤 6.3

将 $3 π$ 和 $4 π$ 相加。

$\sin (\frac{7 π}{12})$

解题步骤 7

$\sin (\frac{7 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

解题步骤 7.2

使用正弦半角公式。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 7.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

解题步骤 7.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ 。

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解题步骤 7.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

解题步骤 7.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 7.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.4.5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

解题步骤 7.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 7.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 7.4.9

化简分母。

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解题步骤 7.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 7.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

小数形式：

$0.96592582 \dots$

三角学 示例

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