三角学示例

$\frac{x + 32}{x^{2} + 24 x + 128}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 24 x + 128$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $128$ ，和为 $24$ 。

$8, 16$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 32}{(x + 8) (x + 16)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 8}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 8) (x + 16)$ 。

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 8$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.6

约去 $x + 16$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.6.2

用 $x + 32$ 除以 $1$ 。

$x + 32 = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 $x + 8$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$x + 32 = \frac{A (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x + 16)$ 除以 $1$ 。

$x + 32 = (A) (x + 16) + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$x + 32 = A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.7.3

将 $16$ 移到 $A$ 的左侧。

$x + 32 = A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.7.4

约去 $x + 16$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

约去公因数。

$x + 32 = A x + 16 A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

解题步骤 1.7.4.2

用 $(B) (x + 8)$ 除以 $1$ 。

$x + 32 = A x + 16 A + (B) (x + 8)$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$x + 32 = A x + 16 A + B x + B \cdot 8$

解题步骤 1.7.6

将 $8$ 移到 $B$ 的左侧。

$x + 32 = A x + 16 A + B x + 8 B$

解题步骤 1.8

移动 $16 A$ 。

$x + 32 = A x + B x + 16 A + 8 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$32 = 16 A + 8 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$32 = 16 A + 8 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $32 = 16 A + 8 B$ 中所有出现的 $A$ .

$32 = 16 (1 - B) + 8 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $16 (1 - B) + 8 B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$32 = 16 \cdot 1 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$32 = 16 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 16 B$ 和 $8 B$ 相加。

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3

在 $32 = 16 - 8 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $16 - 8 B = 32$ 。

$16 - 8 B = 32$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- 8 B = 32 - 16$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.2.2

从 $32$ 中减去 $16$ 。

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3

将 $- 8 B = 16$ 中的每一项除以 $- 8$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- 8 B = 16$ 中的每一项都除以 $- 8$ 。

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

用 $16$ 除以 $- 8$ 。

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 2$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 2$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $1 - (- 2)$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = 3, B = - 2$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{3}{x + 8} + \frac{- 2}{x + 16}$

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