三角学示例

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 2.4

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 2.5

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

解题步骤 2.6

合并解集。

$\sin (x) = - 1, 1$

解题步骤 2.7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

解题步骤 2.8

在 $\sin (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.8.2

化简右边。

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解题步骤 2.8.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.8.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.8.4.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.8.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 2.8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.8.6.3

合并分数。

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解题步骤 2.8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.8.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.8.6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.8.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.8.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.8.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

在 $\sin (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 2.9.2

化简右边。

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解题步骤 2.9.2.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.4

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.9.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.9.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.9.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.9.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 2.9.4.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.9.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

列出所有解。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.11

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.12

求 $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 的定义域。

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解题步骤 2.12.1

将 $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.12.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.12.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 2.12.2.2

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.12.2.2.1

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.12.2.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.12.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.12.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 2.12.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 2.12.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.12.2.4.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.12.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.12.2.6

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.12.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.12.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 2.12.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.12.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.12.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.12.2.6.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 2.12.2.6.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.12.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.12.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.12.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.12.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.12.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.12.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.12.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 2.13

使用每一个根建立验证区间。

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

解题步骤 2.14

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 2.14.1

检验区间 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.14.1.1

选择区间 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 3$

解题步骤 2.14.1.2

使用原不等式中的 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

解题步骤 2.14.1.3

左边的 $1.32861403$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 2.14.2

检验区间 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.14.2.1

选择区间 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 2.14.2.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

解题步骤 2.14.2.3

左边的 $0.56321382$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 2.14.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 为真

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 为真

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 为真

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 为真

解题步骤 2.15

解由使等式成立的所有区间组成。

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 或 $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ ，对于任何整数 $n$

解题步骤 2.16

合并区间。

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 4.2

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 4.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 4.4

化简右边。

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解题步骤 4.4.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.6.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 4.6.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

三角学 示例

三角学示例