三角学示例

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.2

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.1.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.2

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{23 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3

$\cos (\frac{23 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.3.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.4

乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.4.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.5

将 ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 。

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.6

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.6

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.7.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.8

从根式下提出各项。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.9

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.10

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.11

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.7.1.11.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.11.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.12

从根式下提出各项。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.13

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.14

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.15

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.1.16

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.7.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.8

约去 $8 + 4 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.8.2

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.8.3

从 $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 1.8.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.8.4.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.8.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9

$\sin (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.9.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.2

应用角度恒等式的差。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.9.7.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.9.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 1.10

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{23 π}{12})$

解题步骤 1.11

$\sin (\frac{23 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.11.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{12}))$

解题步骤 1.11.2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

解题步骤 1.11.3

应用角度恒等式的差。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 1.11.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 1.11.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 1.11.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 1.11.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 1.11.8

化简 $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 1.11.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.11.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.11.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 1.11.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 1.11.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 1.11.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

解题步骤 1.11.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.11.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 1.11.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

解题步骤 1.11.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

解题步骤 1.12

乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$ 。

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解题步骤 1.12.1

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.12.2

对 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.12.3

对 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.12.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.12.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.12.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

解题步骤 1.13

将 ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.14

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.14.1

运用分配律。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.14.2

运用分配律。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.14.3

运用分配律。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 1.15.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.5

乘以 $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.15.1.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.5.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.6

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.15.1.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.7

从根式下提出各项。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.9

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 1.15.1.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.9.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.10

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.15.1.10.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.10.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.11

从根式下提出各项。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

解题步骤 1.15.1.13

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.15.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

解题步骤 1.15.1.13.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

解题步骤 1.15.1.13.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

解题步骤 1.15.1.13.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

解题步骤 1.15.1.13.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

解题步骤 1.15.1.13.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

解题步骤 1.15.1.14

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.15.1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

解题步骤 1.15.1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

解题步骤 1.15.1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

解题步骤 1.15.1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.15.1.14.4.1

约去公因数。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

解题步骤 1.15.1.14.4.2

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

解题步骤 1.15.1.14.5

计算指数。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

解题步骤 1.15.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 1.15.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 1.16

约去 $8 - 4 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.16.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

解题步骤 1.16.2

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

解题步骤 1.16.3

从 $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

解题步骤 1.16.4

约去公因数。

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解题步骤 1.16.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.16.4.2

约去公因数。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.16.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 - - \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 3.3

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + 1 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 3.3.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$0.86602540 \dots$

三角学 示例

三角学示例