三角学示例

$\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{5}{x})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{5}{x})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{5}{x})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{5}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{25}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{25}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $x^{2} + 25$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2}}}}$

解题步骤 2.5.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 2.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)}}$

解题步骤 2.6

从根式下提出各项。

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 25}}$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{x^{2} + 25}$ 。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{x}}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

解题步骤 4

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

解题步骤 5

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ 。

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

解题步骤 6

合并和化简分母。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ 。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25} \sqrt{x^{2} + 25}}$

解题步骤 6.2

对 $\sqrt{x^{2} + 25}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} \sqrt{x^{2} + 25}}$

解题步骤 6.3

对 $\sqrt{x^{2} + 25}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 25}}^{1}}$

解题步骤 6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}}$

解题步骤 6.6

将 ${\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 25}$ 重写成 ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{1}}$

解题步骤 6.6.5

化简。

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{x^{2} + 25}$

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