三角学示例

$\cos (25) \cos (15) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

$\cos (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\cos (25) \cos (45 - 30) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.2

将被减数和减数分开。

$\cos (25) \cos (45 - (30)) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (25) (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$\cos (25) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.2

组合 $\cos (25)$ 和 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (15)$

解题步骤 1.1.3

$\sin (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (45 - 30)$

解题步骤 1.1.3.2

将被减数和减数分开。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (45 - (30))$

解题步骤 1.1.3.3

应用角度恒等式的差。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

解题步骤 1.1.3.4

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

解题步骤 1.1.3.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

解题步骤 1.1.3.6

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

解题步骤 1.1.3.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.3.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.3.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.3.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.3.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.1.3.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.1.3.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

解题步骤 1.1.3.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 1.1.4

组合 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 和 $\sin (25)$ 。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} - - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

解题步骤 2.3

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

解题步骤 2.3.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - \sqrt{6} \sin (25) + \sqrt{2} \sin (25)}{4}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - \sqrt{6} \sin (25) + \sqrt{2} \sin (25)}{4}$

小数形式：

$0.76604444 \dots$

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