三角学示例

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1

移动 $x$ 。

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

解题步骤 1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

解题步骤 1.4

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ 。

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

解题步骤 3.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 x^{2} - 10 x = 100$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $100$ 。

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

解题步骤 3.4

从 $5 x^{2} - 10 x - 100$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

解题步骤 3.4.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

解题步骤 3.4.3

从 $- 100$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 3.4.4

从 $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 3.4.5

从 $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

解题步骤 3.5

将 $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $x^{2} - 2 x - 20$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

解题步骤 3.6

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.7

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 20$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ 。

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解题步骤 3.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 20$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.3

将 $4$ 和 $80$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.4

将 $84$ 重写为 $2^{2} \cdot 21$ 。

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解题步骤 3.8.1.4.1

从 $84$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

解题步骤 3.8.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

解题步骤 3.9

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ 成立的解。

$x = 1 + \sqrt{21}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 1 + \sqrt{21}$

小数形式：

$x = 5.58257569 \dots$

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