三角学示例

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1, 1$

解题步骤 2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 3

将 $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

解题步骤 3.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

约去公因数。

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

解题步骤 3.2.1.2.2

重写表达式。

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

解题步骤 4

求解不等式。

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解题步骤 4.1

重写为 $u$ 在不等式左边的形式。

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

解题步骤 4.2

从不等式两边同时减去 $u^{2}$ 。

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

把不等式转换成方程。

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

解题步骤 4.4

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 4.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.5.1

重新排序项。

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 4.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 4.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

解题步骤 4.5.3

通过因式分解出最大公因数 $- u + 1$ 来因式分解多项式。

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

解题步骤 4.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 4.7

将 $- u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $- u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- u + 1 = 0$

解题步骤 4.7.2

求解 $u$ 的 $- u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- u = - 1$

解题步骤 4.7.2.2

将 $- u = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.7.2.2.1

将 $- u = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.7.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.7.2.2.2.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.7.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$u = 1$

解题步骤 4.8

将 $u - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.8.1

将 $u - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 。

$u - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 4.8.2

在等式两边都加上 $\sqrt{3}$ 。

$u = \sqrt{3}$

解题步骤 4.9

最终解为使 $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ 成立的所有值。

$u = 1, \sqrt{3}$

解题步骤 5

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 7

在 $\tan (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.4

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 7.4.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\tan (x) = \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 8.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 8.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4.2

合并分数。

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解题步骤 8.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 8.4.3

化简分子。

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解题步骤 8.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 8.4.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 8.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 8.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{π}{4} + π n$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + π n$ 。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.2

将 $\frac{π}{3} + π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

求 $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ 的定义域。

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解题步骤 11.1

将 $\tan (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $\cot (x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 12

使用每一个根建立验证区间。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

解题步骤 13

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 13.1

检验区间 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.1.1

选择区间 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 1$

解题步骤 13.1.2

使用原不等式中的 $1$ 替换 $x$ 。

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 13.1.3

左边的 $2.66954475$ 小于右边的 $2.7320508$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 13.2

检验区间 $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.2.1

选择区间 $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 13.2.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 13.2.3

左边的 $- 2.97772599$ 小于右边的 $2.7320508$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 13.3

检验区间 $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.3.1

选择区间 $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 13.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

解题步骤 13.3.3

左边的 $2.65377824$ 小于右边的 $2.7320508$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 13.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 为真

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 为真

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 为真

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 为真

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 为真

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 为真

解题步骤 14

解由使等式成立的所有区间组成。

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

解题步骤 15

合并区间。

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

三角学 示例

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