三角学示例

$\tan (\arcsin (x - 1))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x - 1)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arcsin (x - 1))$ 为 $\frac{x - 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ 。

$\frac{x - 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x - 1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x - 1$ 。

$\frac{x - 1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x - 1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

解题步骤 2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

解题步骤 3

将 $\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 。

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

解题步骤 4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

解题步骤 4.2

对 $\sqrt{x (- x + 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

解题步骤 4.3

对 $\sqrt{x (- x + 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ 重写为 $x (- x + 2)$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x (- x + 2)}$ 重写成 ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

解题步骤 4.6.5

化简。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

解题步骤 5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

解题步骤 6

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

解题步骤 7

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

解题步骤 8

重写负数。

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解题步骤 8.1

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

解题步骤 8.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$

解题步骤 8.3

将 $- \frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)} (x - 1)}{x (x - 2)}$

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