三角学示例

$\tan (\arcsin (2 x))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arcsin (2 x))$ 为 $\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 2 x$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 3

将 $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 。

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 4.2

对 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 4.3

对 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 重写成 ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

解题步骤 4.6.5

化简。

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

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