三角学示例

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

解题步骤 1

对 $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从 $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $\csc^{5} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

从 $- 4 \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

解题步骤 1.1.3

从 $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

解题步骤 1.2

将 $\csc^{4} (x)$ 重写为 ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ 。

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.4

因数。

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解题步骤 1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \csc^{2} (x)$ 和 $b = 2$ 。

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

解题步骤 1.4.2

去掉多余的括号。

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\csc (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) = 0$

解题步骤 3.2

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 4

将 $\csc^{2} (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\csc^{2} (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\csc^{2} (x) = 2$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.5

在 $\csc (x) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (\sqrt{2})$

解题步骤 4.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.5.2.1

$arccsc (\sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.4

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 4.2.5.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.5.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 4.2.5.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 4.2.5.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4.2.5.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.5.6

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.6

在 $\csc (x) = - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.6.2.1

$arccsc (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 4.2.6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.2.6.4.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 4.2.6.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 4.2.6.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 4.2.6.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 4.2.6.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.6.3

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 4.2.6.6.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.6.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 4.2.6.6.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 4.2.6.6.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 4.2.6.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.7

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.8

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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