三角学示例

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $2 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = - 2$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.1.3

将 $36$ 和 $24$ 相加。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.1.4

将 $60$ 重写为 $2^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 9

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 11

在 $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 12

在 $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ 。

$x = 1.11910076$

解题步骤 12.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

解题步骤 12.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

解题步骤 12.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.11910076$ 。

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解题步骤 12.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

解题步骤 12.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.11910076$ 。

$x = 5.16408454$

解题步骤 12.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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