三角学示例

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{5 π}{12}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{5 π}{12}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{5 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.5

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7

化简 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.6

乘以 $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 1.6.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.7.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.3

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.4.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.7.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.8

约去 $2 \sqrt{3} - 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.8.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.8.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 1.8.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.8.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.8.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.9

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{12})$

解题步骤 1.10

$\sin (\frac{5 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.10.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10.2

使用两角和公式。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.10.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.10.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.10.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.10.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.10.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.10.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.10.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.10.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.10.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.10.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.10.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.10.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.10.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.10.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

解题步骤 1.10.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 1.11

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.11.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.11.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{8}$

解题步骤 1.12

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6}}{8}$

解题步骤 1.13

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6}}{8}$

解题步骤 1.14

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 6}}{8}$

解题步骤 1.15

化简每一项。

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解题步骤 1.15.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{4} + \sqrt{2 \cdot 6}}{8}$

解题步骤 1.15.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2 \cdot 6}}{8}$

解题步骤 1.15.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6}}{8}$

解题步骤 1.15.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{12}}{8}$

解题步骤 1.15.5

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.15.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8}$

解题步骤 1.15.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8}$

解题步骤 1.15.6

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 1.16

约去 $2 + 2 \sqrt{3}$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.16.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 1.16.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8}$

解题步骤 1.16.3

从 $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 1.16.4

约去公因数。

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解题步骤 1.16.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)}$

解题步骤 1.16.4.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.16.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} - 1 + 1 + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{- 1 + 1 + 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0 + 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.3.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$0.86602540 \dots$

三角学 示例

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