三角学示例

$\sin (\arccos (x^{2} - 64))$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(x^{2} - 64, \sqrt{1^{2} - {(x^{2} - 64)}^{2}})$ 、 $(x^{2} - 64, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x^{2} - 64)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x^{2} - 64, \sqrt{1^{2} - {(x^{2} - 64)}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x^{2} - 64))$ 为 $\sqrt{1 - {(x^{2} - 64)}^{2}}$ 。

$\sqrt{1 - {(x^{2} - 64)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - {(x^{2} - 64)}^{2}}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x^{2} - 64$ 。

$\sqrt{(1 + x^{2} - 64) (1 - (x^{2} - 64))}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $1$ 中减去 $64$ 。

$\sqrt{(x^{2} - 63) (1 - (x^{2} - 64))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\sqrt{(x^{2} - 63) (1 - x^{2} - - 64)}$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 64$ 。

$\sqrt{(x^{2} - 63) (1 - x^{2} + 64)}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $64$ 相加。

$\sqrt{(x^{2} - 63) (- x^{2} + 65)}$

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