三角学示例

$\cos (\arcsin (\frac{9}{x}))$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{9}{x})}^{2}}, \frac{9}{x})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{9}{x})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{9}{x})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{9}{x})}^{2}}, \frac{9}{x})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{9}{x}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{9}{x})}^{2}}$ 。

$\sqrt{1 - {(\frac{9}{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{9}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{9}{x}$ 。

$\sqrt{(1 + \frac{9}{x}) (1 - \frac{9}{x})}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{9}{x}) (1 - \frac{9}{x})}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{x + 9}{x} (1 - \frac{9}{x})}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{x + 9}{x} (\frac{x}{x} - \frac{9}{x})}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{x + 9}{x} \cdot \frac{x - 9}{x}}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{x + 9}{x}$ 乘以 $\frac{x - 9}{x}$ 。

$\sqrt{\frac{(x + 9) (x - 9)}{x \cdot x}}$

解题步骤 3.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{\frac{(x + 9) (x - 9)}{x^{2}}}$

解题步骤 4

将 $\frac{(x + 9) (x - 9)}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 9) (x - 9))$ 。

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解题步骤 4.1

从 $(x + 9) (x - 9)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{x^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 4.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 9) (x - 9))}$

解题步骤 5

从根式下提出各项。

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{x}$

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