三角学示例

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.2

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.5

乘以 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.7

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.8

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.9.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9.3

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.9.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10

约去 $2 \sqrt{3} + 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.10.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 1.10.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.10.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11

$\sin (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.11.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.2

应用角度恒等式的差。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.11.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.11.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.11.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.11.7.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.11.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{4})$

解题步骤 1.12

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 1.13

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 1.14

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.15

乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.15.1

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.15.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 1.16

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 1.17

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

解题步骤 1.18

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.18.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

解题步骤 1.18.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

解题步骤 1.18.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

解题步骤 1.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.19

化简每一项。

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解题步骤 1.19.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.19.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.19.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.19.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.19.3

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

解题步骤 1.19.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.19.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

解题步骤 1.19.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

解题步骤 1.19.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 1.19.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.19.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

解题步骤 1.19.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

解题步骤 1.19.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

解题步骤 1.19.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

解题步骤 1.20

约去 $2 \sqrt{3} - 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.20.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

解题步骤 1.20.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

解题步骤 1.20.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

解题步骤 1.20.4

约去公因数。

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解题步骤 1.20.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

解题步骤 1.20.4.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.20.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - - 1}{4}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{4}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{0 + 1 + 1}{4}$

解题步骤 4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 1}{4}$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{4}$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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