三角学示例

$\sin (\arctan (- 1) + \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$\sin (- \frac{π}{4} + \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 1.2

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$\sin (- \frac{π}{4} + \frac{π}{6})$

解题步骤 2

要将 $- \frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sin (- \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6})$

解题步骤 3

要将 $\frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (- \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4.3

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2})$

解题步骤 4.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 2}{12})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{- π \cdot 3 + π \cdot 2}{12})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (\frac{- 3 π + π \cdot 2}{12})$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\sin (\frac{- 3 π + 2 \cdot π}{12})$

解题步骤 6.3

将 $- 3 π$ 和 $2 π$ 相加。

$\sin (\frac{- π}{12})$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\sin (- \frac{π}{12})$

解题步骤 8

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (\frac{23 π}{12})$

解题步骤 9

$\sin (\frac{23 π}{12})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 9.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 9.2

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 9.3

应用角度恒等式的差。

$- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.6

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 9.8

化简 $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 9.8.1

化简每一项。

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解题步骤 9.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 9.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 9.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 9.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 9.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

解题步骤 9.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

小数形式：

$- 0.25881904 \dots$

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