三角学示例

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

解题步骤 1

使用正弦的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\sin (θ) = \frac{对边}{斜边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的邻边。由于斜边和对边已知，使用勾股定理即可求最后一条边。

$邻边 = \sqrt{{斜边}^{2} - {对边}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$邻边 = \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

邻边 $= \sqrt{49 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

邻边 $= \sqrt{49 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

邻边 $= \sqrt{49 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

邻边 $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

邻边 $= \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

邻边 $= \sqrt{49 - 5}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

邻边 $= \sqrt{49 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

邻边 $= \sqrt{49 - 5}$

解题步骤 4.4

从 $49$ 中减去 $5$ 。

邻边 $= \sqrt{44}$

解题步骤 4.5

将 $44$ 重写为 $2^{2} \cdot 11$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 $44$ 中分解出因数 $4$ 。

邻边 $= \sqrt{4 (11)}$

解题步骤 4.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

邻边 $= \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

解题步骤 4.6

从根式下提出各项。

邻边 $= 2 \sqrt{11}$

解题步骤 5

求余弦值。

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解题步骤 5.1

使用余弦的定义求 $\cos (θ)$ 的值。

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

解题步骤 6

求正切值。

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解题步骤 6.1

使用正切的定义求 $\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$

解题步骤 6.3

化简 $\tan (θ)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 6.3.2.2

移动 $\sqrt{11}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

解题步骤 6.3.2.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

解题步骤 6.3.2.4

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

解题步骤 6.3.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.7

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 6.3.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.7.4.1

约去公因数。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.7.4.2

重写表达式。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

解题步骤 6.3.2.7.5

计算指数。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

解题步骤 6.3.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{2 \cdot 11}$

解题步骤 6.3.3.2

将 $5$ 乘以 $11$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{2 \cdot 11}$

解题步骤 6.3.4

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

解题步骤 7

求余切值。

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解题步骤 7.1

使用余切的定义求 $\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 7.3

化简 $\cot (θ)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 7.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 7.3.2.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 7.3.2.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 7.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 7.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 7.3.2.6.5

计算指数。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 7.3.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 11}}{5}$

解题步骤 7.3.3.2

将 $5$ 乘以 $11$ 。

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

解题步骤 8

求正割值。

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解题步骤 8.1

使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}}$

解题步骤 8.3

化简 $\sec (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{7}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

解题步骤 8.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

解题步骤 8.3.2.2

移动 $\sqrt{11}$ 。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

解题步骤 8.3.2.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

解题步骤 8.3.2.4

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

解题步骤 8.3.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.7

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 8.3.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.7.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.7.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

解题步骤 8.3.2.7.5

计算指数。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

解题步骤 8.3.3

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

解题步骤 9

求余割值。

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解题步骤 9.1

使用余割的定义求 $\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3

化简 $\csc (θ)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{7}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{7}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $\frac{7}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.2.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.2.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 9.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 9.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9.3.2.6.5

计算指数。

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{55}}{22}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

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