三角学示例

$z = 2 + 4 i$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = 2$ 和 $b = 4$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + 2^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16 + 4}$

解题步骤 4.3

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$| z | = \sqrt{20}$

解题步骤 4.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$| z | = \sqrt{4 (5)}$

解题步骤 4.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

解题步骤 4.5

从根式下提出各项。

$| z | = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{4}{2})$

解题步骤 6

因为 $\frac{4}{2}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $1.10714871$ 。

$θ = 1.10714871$

解题步骤 7

代入 $θ = 1.10714871$ 和 $| z | = 2 \sqrt{5}$ 的值。

$2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$

解题步骤 8

使用三角函数替换等式的右边。

$z = 2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$

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