三角学示例

$\sin (x) = \frac{1}{4 \sin (x)}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 4 \sin (x)$

解题步骤 1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$4 \sin (x)$

解题步骤 2

将 $\sin (x) = \frac{1}{4 \sin (x)}$ 中的每一项乘以 $4 \sin (x)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\sin (x) = \frac{1}{4 \sin (x)}$ 中的每一项乘以 $4 \sin (x)$ 。

$\sin (x) (4 \sin (x)) = \frac{1}{4 \sin (x)} (4 \sin (x))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin (x) \sin (x) = \frac{1}{4 \sin (x)} (4 \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

移动 $\sin (x)$ 。

$4 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{1}{4 \sin (x)} (4 \sin (x))$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) = \frac{1}{4 \sin (x)} (4 \sin (x))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin^{2} (x) = 4 \frac{1}{4 \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $4 \sin (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \sin^{2} (x) = 4 \frac{1}{4 \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

$4 \sin^{2} (x) = 4 \frac{1}{4 \sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2.3

重写表达式。

$4 \sin^{2} (x) = \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.3.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$4 \sin^{2} (x) = \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$4 \sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将 $4 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $4 \sin^{2} (x) = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 3.3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

在 $\sin (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 5.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 5.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

在 $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.4.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 6.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 6.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 6.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 6.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.6.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 6.6.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 6.6.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 6.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并解集。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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