三角学示例

$\sin (x) + \cot (x) \cos (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 3

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 4

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 4.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$1 = \sin (x) \sqrt{3}$

解题步骤 7

将方程重写为 $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ 。

$\sin (x) \sqrt{3} = 1$

解题步骤 8

将 $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ 中的每一项除以 $\sqrt{3}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ 中的每一项都除以 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 8.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 8.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 8.3.2.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 10

化简右边。

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解题步骤 10.1

计算 $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

$x = 0.6154797$

解题步骤 11

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

解题步骤 12

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

解题步骤 12.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

解题步骤 12.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.6154797$ 。

$x = 2.52611294$

解题步骤 13

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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