三角学示例

$\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12}) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{11}{20} x + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{11}{20}$ 和 $x$ 。

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{6}$

解题步骤 4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{12}$ 。

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} - \frac{π}{12}$

解题步骤 4.2

要将 $- \frac{π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

解题步骤 4.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π \cdot 2 - π}{12}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 2 π - π}{12}$

解题步骤 4.5.2

从 $- 2 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 3 π}{12}$

解题步骤 4.6

约去 $- 3$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{12}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 (4)}$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 \cdot 4}$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π}{4}$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{4}$

解题步骤 5

等式两边同时乘以 $\frac{20}{11}$ 。

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1

化简 $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 6.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 6.1.1.2

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从 $11 x$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 6.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 6.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

化简 $\frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

解题步骤 6.2.1.1.2

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

解题步骤 6.2.1.1.3

约去公因数。

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

解题步骤 6.2.1.1.4

重写表达式。

$x = \frac{5}{11} (- π)$

解题步骤 6.2.1.2

组合 $\frac{5}{11}$ 和 $π$ 。

$x = - \frac{5 π}{11}$

解题步骤 7

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 8

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 8.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.3.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{12}$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{12}$

解题步骤 8.3.1.2

要将 $\frac{7 π}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

解题步骤 8.3.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 8.3.1.3.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

解题步骤 8.3.1.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 8.3.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2 - π}{12}$

解题步骤 8.3.1.5

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.5.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{14 π - π}{12}$

解题步骤 8.3.1.5.2

从 $14 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 x}{20} = \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.2

等式两边同时乘以 $\frac{20}{11}$ 。

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 8.3.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.3.1.1

化简 $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ 。

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解题步骤 8.3.3.1.1.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3.1.1.2

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1.1.2.1

从 $11 x$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.2.1

化简 $\frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$ 。

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解题步骤 8.3.3.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

解题步骤 8.3.3.2.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.3.2.1.1.3

约去公因数。

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.3.2.1.1.4

重写表达式。

$x = \frac{5}{11} \cdot \frac{13 π}{3}$

解题步骤 8.3.3.2.1.2

将 $\frac{5}{11}$ 乘以 $\frac{13 π}{3}$ 。

$x = \frac{5 (13 π)}{11 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.3.2.1.3

乘。

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解题步骤 8.3.3.2.1.3.1

将 $13$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{65 π}{11 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.3.2.1.3.2

将 $11$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{65 π}{33}$

解题步骤 9

求 $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ 的周期。

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解题步骤 9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.2

使用周期公式中的 $\frac{11}{20}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{11}{20} |}$

解题步骤 9.3

$\frac{11}{20}$ 约为 $0.55$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{11}{20}}$

解题步骤 9.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{20}{11}$

解题步骤 9.5

乘以 $2 π \frac{20}{11}$ 。

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解题步骤 9.5.1

组合 $\frac{20}{11}$ 和 $2$ 。

$\frac{20 \cdot 2}{11} π$

解题步骤 9.5.2

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$\frac{40}{11} π$

解题步骤 9.5.3

组合 $\frac{40}{11}$ 和 $π$ 。

$\frac{40 π}{11}$

解题步骤 10

将 $\frac{40 π}{11}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{40 π}{11}$ 加到 $- \frac{5 π}{11}$ 以求正角。

$- \frac{5 π}{11} + \frac{40 π}{11}$

解题步骤 10.2

在公分母上合并分子。

$\frac{40 π - 5 π}{11}$

解题步骤 10.3

从 $40 π$ 中减去 $5 π$ 。

$\frac{35 π}{11}$

解题步骤 10.4

列出新角。

$x = \frac{35 π}{11}$

解题步骤 11

$\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ 函数的周期为 $\frac{40 π}{11}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{40 π}{11}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{65 π}{33} + \frac{40 π n}{11}, \frac{35 π}{11} + \frac{40 π n}{11}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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