三角学示例

$\cos (2 x) - \cos (6 x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (6 x) = 0$

解题步骤 1.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 (3 x)) = 0$

解题步骤 1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1

使用三倍角公式把 $\cos (3 x)$ 转换为 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.3.2

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.3.3

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

通过指数相加将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $\cos^{3} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.2.1

移动 $\cos^{3} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 {\cos (x)}^{3 + 3}) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{6} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.4

通过指数相加将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.4.1

移动 $\cos (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.4.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{3} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.4.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.5

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.6

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{3} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.6.1

移动 $\cos^{3} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.6.2

将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.6.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.7

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.8

乘以 $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.8.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.8.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.8.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.4.2

从 $- 12 \cos^{4} (x)$ 中减去 $12 \cos^{4} (x)$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.5

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.6

化简。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.4

运用分配律。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x)) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $32$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- 48$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

解题步骤 1.1.5.3

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.1

合并 $2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) + 0 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.1.2

将 $2 \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $2 \cos^{2} (x)$ 中减去 $18 \cos^{2} (x)$ 。

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

解题步骤 2

对 $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从 $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $16 \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 16 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $16 \cos^{2} (x)$ 。

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 32 \cos^{6} (x)$ 中分解出因数 $16 \cos^{2} (x)$ 。

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $48 \cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $16 \cos^{2} (x)$ 。

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x))$ 中分解出因数 $16 \cos^{2} (x)$ 。

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $16 \cos^{2} (x)$ 。

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.1

重新排序项。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 2 \cdot - 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

把 $3$ 重写为 $1$ 加 $2$

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + (1 + 2) \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.3

运用分配律。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 1 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.4

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$16 \cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) - (- 2 \cos^{2} (x) + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.4

通过因式分解出最大公因数 $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

解题步骤 2.4

因数。

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解题步骤 2.4.1

因数。

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解题步骤 2.4.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = 1$ 。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

解题步骤 2.4.1.2

去掉多余的括号。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.4.2

去掉多余的括号。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.2.4.4.6.5

计算指数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.7

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.7.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.7.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 5.2.7.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.4

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.8.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.8.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.8.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 5.2.8.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 6.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 6.2.5

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 6.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 7.2.5

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 7.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $π + 2 π n$ 和 $2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.3

将 $\frac{π}{2} + π n$ 和 $π n$ 合并为 $\frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.4

将 $\frac{π n}{2}$ 和 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π n}{4}$ 。

$x = \frac{π n}{4}, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.5

将 $\frac{π n}{4}$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $\frac{π n}{4}$ 。

$x = \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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