三角学示例

$8 \sec^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $8 (1 + \tan^{2} (x))$ 替换 $8 \sec^{2} (x)$ 。

$8 (1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$8 \cdot 1 + 8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

解题步骤 2.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 + 8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 12 = 0$

解题步骤 3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$8 \tan^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

解题步骤 3.2

将 $8 \tan^{2} (x)$ 和 $4 \tan^{2} (x)$ 相加。

$12 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $4$ 。

$12 \tan^{2} (x) = 4$

解题步骤 5

将 $12 \tan^{2} (x) = 4$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $12 \tan^{2} (x) = 4$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 \tan^{2} (x)}{12} = \frac{4}{12}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \tan^{2} (x)}{12} = \frac{4}{12}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\tan^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan^{2} (x) = \frac{4}{12}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\tan^{2} (x) = \frac{4 (1)}{12}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\tan^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

$\tan^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.1.2.3

重写表达式。

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 7

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 7.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.6.4.1

约去公因数。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.6.4.2

重写表达式。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 7.4.6.5

计算指数。

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

在 $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 10.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 10.4

化简 $π + \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 10.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 10.4.2

合并分数。

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解题步骤 10.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 10.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 10.4.3

化简分子。

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解题步骤 10.4.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 10.4.3.2

将 $6 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 10.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 11.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{6} - π$

解题步骤 11.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 11.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{6} - π$ 。

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

解题步骤 11.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{6}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{6} - π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 11.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + π$

解题步骤 11.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 11.6.3

合并分数。

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解题步骤 11.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 11.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 11.6.4

化简分子。

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解题步骤 11.6.4.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 11.6.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{6}$

解题步骤 11.6.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 11.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

合并解集。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{π}{6} + π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13.2

将 $\frac{5 π}{6} + π n$ 和 $\frac{5 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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