三角学示例

$2 \sin (2 x) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用正弦倍角公式。

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (\sin (x) \cos (x)) \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.3

乘以 $4 \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 2

从 $4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (4 \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (4 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 3 = 0$

解题步骤 2.3

从 $\cos (x) (4 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 3$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (4 \sin^{2} (x) - 3) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $4 \sin^{2} (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $4 \sin^{2} (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 \sin^{2} (x) = 3$

解题步骤 5.2.2

将 $4 \sin^{2} (x) = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $4 \sin^{2} (x) = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.2.4.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.2.7

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.7.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.7.4

化简 $π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 5.2.7.4.3.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.8.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 5.2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.8.4.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 5.2.8.4.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2.8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

解题步骤 5.2.8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.8.6.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.8.6.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.8.6.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 5.2.8.6.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.2.8.6.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.2.8.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10

合并解集。

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解题步骤 5.2.10.1

将 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.10.2

将 $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ 和 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\cos (x) (4 \sin^{2} (x) - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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