三角学示例

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) = \tan (x) + 1$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\tan (x)$ 。

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) = 1$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

乘以 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

组合 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2

分离分数。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

解题步骤 2.2.4

用 $2 (\sin (x))$ 除以 $1$ 。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

对 $2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 \sin (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

解题步骤 3.2

通过因式分解出最大公因数 $\tan (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 5.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 5.2.7.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.7.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 6.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 6.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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