三角学示例

$\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{7} ((x - 5) (x + 1)) = 1$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log_{7} (x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 1$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 (x + 1)) = 1$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5) = 1$

解题步骤 1.3.2

从 $x$ 中减去 $5 x$ 。

$\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$7^{1} = x^{2} - 4 x - 5$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} - 4 x - 5 = 7^{1}$ 。

$x^{2} - 4 x - 5 = 7$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x^{2} - 4 x - 5 - 7 = 0$

解题步骤 3.3

从 $- 5$ 中减去 $7$ 。

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

解题步骤 3.4

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 3.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 6) (x + 2) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.6

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 3.7

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(x - 6) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 6, - 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$ 成立的解。

$x = 6$

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