三角学示例

$\tan^{2} (2 x) - 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3$ 。

$\tan^{2} (2 x) = 3$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\tan (2 x) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

解题步骤 3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (2 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5

在 $\tan (2 x) = \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$2 x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$2 x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.3

将 $2 x = \frac{π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 x = \frac{π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3.2

乘以 $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 5.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$2 x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

化简。

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解题步骤 5.5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.5.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $π \cdot 3$ 和 $π$ 相加。

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解题步骤 5.5.1.4.1

将 $π$ 和 $3$ 重新排序。

$2 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $3 \cdot π$ 和 $π$ 相加。

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

解题步骤 5.5.2

将 $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.2.1

从 $4 \cdot π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.3.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.3.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2 \cdot π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6

求 $\tan (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 5.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 2 |}$

解题步骤 5.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 5.7

$\tan (2 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

在 $\tan (2 x) = - \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$2 x = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$2 x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.3

将 $2 x = - \frac{π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 x = - \frac{π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.3.2

乘以 $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$2 x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 6.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.5.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$2 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 6.5.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$2 x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.5.3

将 $2 x = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.5.3.1

将 $2 x = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 6.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 6.5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 6.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.5.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.3.3.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.5.3.3.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.5.3.3.2.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 6.6

求 $\tan (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 2 |}$

解题步骤 6.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 6.7

将 $\frac{π}{2}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.7.1

将 $\frac{π}{2}$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + \frac{π}{2}$

解题步骤 6.7.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.7.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.7.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.7.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{6}$

解题步骤 6.7.5

化简分子。

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解题步骤 6.7.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 6.7.5.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{6}$

解题步骤 6.7.6

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.6.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{6}$

解题步骤 6.7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.7.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.7.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{3}$

解题步骤 6.7.7

列出新角。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 6.8

$\tan (2 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并解集。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ 和 $\frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ 和 $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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