三角学示例

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

解题步骤 1

两边同时乘以 $e^{x} - e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $e^{x} - e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $4 (e^{x} - e^{- x})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ 。

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

解题步骤 3.2

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

解题步骤 3.3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

解题步骤 3.4.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

解题步骤 3.4.3

将负号移到分数的前面。

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

解题步骤 3.5

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 3.5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 3.5.2

将 $4 u - \frac{4}{u} = 1$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $4 u - \frac{4}{u} = 1$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1.1

移动 $u$ 。

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

解题步骤 3.5.2.2.1.1.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.2.1

将 $- \frac{4}{u}$ 中前置负号移到分子中。

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

解题步骤 3.5.2.2.1.2.2

约去公因数。

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

解题步骤 3.5.2.2.1.2.3

重写表达式。

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$4 u^{2} - 4 = u$

解题步骤 3.5.3

求解方程。

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解题步骤 3.5.3.1

从等式两边同时减去 $u$ 。

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

解题步骤 3.5.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5.3.3

将 $a = 4$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.3.4

化简。

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解题步骤 3.5.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.3.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 3.5.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.3.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.3.4.1.3

将 $1$ 和 $64$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.3.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

解题步骤 3.5.3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

解题步骤 3.6

代入 $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

解题步骤 3.7

求解 $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ 。

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解题步骤 3.7.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ 。

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

解题步骤 3.7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

解题步骤 3.7.3

展开左边。

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解题步骤 3.7.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

解题步骤 3.7.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

解题步骤 3.7.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

解题步骤 3.8

代入 $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

解题步骤 3.9

求解 $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ 。

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

解题步骤 3.9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

解题步骤 3.9.3

因为 $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.9.4

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ 无解

无解

解题步骤 3.10

列出使方程成立的解。

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

小数形式：

$x = 0.12467674 \dots$

三角学 示例

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