三角学示例

$3 - \sin (x) = \cos (2 x)$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$3 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 3$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 3$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 2$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 2$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$- u + 2 u^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.4

将 $a = 2$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.6

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.7

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.9

在 $\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})$

解题步骤 5.9.2

$\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 5.10

在 $\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 5.10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})$

解题步骤 5.10.2

$\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 5.11

列出所有解。

无解

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