三角学示例

3 - \sin (x) = \cos (2 x)

$3 - \sin (x) = \cos (2 x)$

解题步骤 1

使用倍角公式把

\cos (2 x)

$\cos (2 x)$ 转换为

1 - 2 \sin^{2} (x)

$1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

3 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)

$3 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 3

$- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 3$

解题步骤 3

在等式两边都加上

2 \sin^{2} (x)

$2 \sin^{2} (x)$ 。

- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 3

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 3$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

从

1

$1$ 中减去

3

$3$ 。

- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 2

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 2$

- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 2

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 2$

解题步骤 5

求解

x

$x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

代入

u

$u$ 替换

\sin (x)

$\sin (x)$ 。

- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 2

$- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 2$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上

2

$2$ 。

- u + 2 u^{2} + 2 = 0

$- u + 2 u^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.3

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.4

将

a = 2

$a = 2$ 、

b = - 1

$b = - 1$ 和

c = 2

$c = 2$ 的值代入二次公式中并求解

u

$u$ 。

\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以

- 4 \cdot 2 \cdot 2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

2

$2$ 。

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将

- 8

$- 8$ 乘以

2

$2$ 。

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.3

从

1

$1$ 中减去

16

$16$ 。

u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.4

将

- 15

$- 15$ 重写为

- 1 (15)

$- 1 (15)$ 。

u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.5

将

\sqrt{- 1 (15)}

$\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.1.6

将

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ 重写为

i

$i$ 。

u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.5.2

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.6

最终答案为两个解的组合。

u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.7

代入

\sin (x)

$\sin (x)$ 替换

u

$u$ 。

\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.8

建立每一个解以求解

x

$x$ 。

\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 5.9

在

\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})

$x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})$

解题步骤 5.9.2

\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})

$\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{15}}{4})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 5.10

在

\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})

$x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})$

解题步骤 5.10.2

\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})

$\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{15}}{4})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 5.11

列出所有解。

无解

三角学 示例

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