三角学示例

3 {sec}^{2} (x) - 4 = 0

$3 \sec^{2} (x) - 4 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

$4$ 。

$3 \sec^{2} (x) = 4$

解题步骤 2

将

$3 \sec^{2} (x) = 4$ 中的每一项除以

$3$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将

$3 \sec^{2} (x) = 4$ 中的每一项都除以

$3$ 。

$\frac{3 \sec^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sec^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 2.2.1.2

用

$\sec^{2} (x)$ 除以

$1$ 。

$\sec^{2} (x) = \frac{4}{3}$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 4

化简

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

将

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.3

将

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.4.2

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.4.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7

在

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 7.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

$x$ 。

$x = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为

$\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 7.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从

$2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4

化简

$2 π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 7.4.1

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.3.1

将

$6$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 7.4.3.2

从

$12 π$ 中减去

$π$ 。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 7.5

求

$\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

$\sec (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 8

在

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中求解

$x$ 。

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解题步骤 8.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出

$x$ 。

$x = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为

$\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从

$2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.4

化简

$2 π - \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 8.4.1

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.4.2

合并分数。

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解题步骤 8.4.2.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 8.4.3

化简分子。

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解题步骤 8.4.3.1

将

$6$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 8.4.3.2

从

$12 π$ 中减去

$5 π$ 。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8.5

求

$\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用

$2 π$ 除以

$1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.6

$\sec (x)$ 函数的周期为

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 9

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将

$\frac{π}{6} + 2 π n$ 和

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为

$\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 10.2

将

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 和

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 合并为

$\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数

$n$

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