三角学示例

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $- \sin^{2} (x)$ 。

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

解题步骤 2.3

乘以 $- - \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

解题步骤 2.3.2

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

解题步骤 3

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

解题步骤 3.2

将 $0$ 和 $\cos^{2} (x)$ 相加。

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

${(u)}^{2} = - (u)$

解题步骤 5

在等式两边都加上 $u$ 。

$u^{2} + u = 0$

解题步骤 6

从 $u^{2} + u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 6.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u = 0$

解题步骤 6.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \cdot u + u = 0$

解题步骤 6.3

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.4

从 $u \cdot u + u \cdot 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u + 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 9

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 10

最终解为使 $u (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, - 1$

解题步骤 11

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = 0, - 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 13

在 $\cos (x) = 0$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 13.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 13.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.4.2

合并分数。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 13.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 13.4.3

化简分子。

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解题步骤 13.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 13.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 13.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 14.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 14.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 14.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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