三角学示例

\csc^{2} (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

2

$2$ 。

\csc^{2} (x) = 2

$\csc^{2} (x) = 2$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\csc (x) = \pm \sqrt{2}

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用

\pm

$\pm$ 的正值求第一个解。

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 3.2

下一步，使用

\pm

$\pm$ 的负值来求第二个解。

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 4

建立每一个解以求解

x

$x$ 。

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 5

在

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

取等式两边的反余割以从余割中提出

x

$x$ 。

x = arccsc (\sqrt{2})

$x = arccsc (\sqrt{2})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

arccsc (\sqrt{2})

$arccsc (\sqrt{2})$ 的准确值为

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ 。

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从

π

$π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.4

化简

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.4.1

要将

π

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.4.2.1

组合

π

$π$ 和

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.4.2.2

在公分母上合并分子。

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.1

将

4

$4$ 移到

π

$π$ 的左侧。

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.4.3.2

从

4 π

$4 π$ 中减去

π

$π$ 。

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.5

求

\csc (x)

$\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 5.6

\csc (x)

$\csc (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 6

在

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.1

取等式两边的反余割以从余割中提出

x

$x$ 。

x = arccsc (- \sqrt{2})

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

arccsc (- \sqrt{2})

$arccsc (- \sqrt{2})$ 的准确值为

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ 。

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{4} + π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.4.1

从

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去

2 π

$2 π$ 。

x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 6.4.2

得出的角

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比

2 π

$2 π$ 小，且与

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.5

求

\csc (x)

$\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.5.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.5.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.5.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 6.6

将

2 π

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.6.1

将

2 π

$2 π$ 加到

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ 以求正角。

- \frac{π}{4} + 2 π

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 6.6.2

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.6.3

合并分数。

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解题步骤 6.6.3.1

组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.6.3.2

在公分母上合并分子。

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 6.6.4

化简分子。

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解题步骤 6.6.4.1

将

4

$4$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{8 π - π}{4}

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 6.6.4.2

从

8 π

$8 π$ 中减去

π

$π$ 。

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.6.5

列出新角。

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 6.7

\csc (x)

$\csc (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 7

列出所有解。

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 8

合并答案。

x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数

n

$n$

三角学 示例

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