三角学示例

$\csc^{2} (x) + 3 \cot (x) = - 2$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\cot^{2} (x) + 1$ 替换 $\csc^{2} (x)$ 。

$(\cot^{2} (x) + 1) + 3 \cot (x) = - 2$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\cot^{2} (x) + 3 \cot (x) + 1 = - 2$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\cot (x)$ 。

${(u)}^{2} + 3 (u) + 1 = - 2$

解题步骤 4

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$u^{2} + 3 u + 1 + 2 = 0$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u^{2} + 3 u + 3 = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

代入 $\cot (x)$ 替换 $u$ 。

$\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11

在 $\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- \frac{3 - i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 11.2

The inverse cotangent of $arccot (- \frac{3 - i \sqrt{3}}{2})$ is undefined.

无定义

解题步骤 12

在 $\cot (x) = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- \frac{3 + i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 12.2

The inverse cotangent of $arccot (- \frac{3 + i \sqrt{3}}{2})$ is undefined.

无定义

解题步骤 13

列出所有解。

无解

三角学 示例

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