三角学示例

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $7 (\cos (- x) - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.1

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

解题步骤 1.1.3

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

解题步骤 2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $7 \cos (x)$ 。

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

解题步骤 3

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.2.1

重新排序项。

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ 并且它们的和为 $b = - 7$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $- 7 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 7$ 。

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.2.2.2

把 $- 7$ 重写为 $1$ 加 $- 8$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.2.2.3

运用分配律。

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.2.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 4.2.4

通过因式分解出最大公因数 $- \cos (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.4

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $- \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.4.2

求解 $x$ 的 $- \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos (x) = - 1$

解题步骤 4.4.2.2

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.2.1

将 $- \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 4.4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 4.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.4.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 4.4.2.6

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 4.4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.5

将 $\cos (x) + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $\cos (x) + 8$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + 8 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + 8 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$\cos (x) = - 8$

解题步骤 4.5.2.2

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 8$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 4.6

最终解为使 $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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