三角学示例

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

将 $\cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1 \csc (x)$ 重写为 $- \csc (x)$ 。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

对 $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2

通过因式分解出最大公因数 $\csc (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\csc (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\csc (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\csc (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\csc (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$arccsc (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 4.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 4.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.6

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 4.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 4.2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 4.2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.8

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\cot (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cot (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cot (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$arccot (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.5

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 5.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 5.2.5.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 5.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\frac{π}{4} + π n$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + π n$ 。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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