三角学示例

$\csc (x) - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\cot (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 2.1.2

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4

运用分配律。

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$1 + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 6

使用乘法的交换性质重写。

$1 - \sin (x) \sin (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 7.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - (\sin^{1} (x) \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - {\sin (x)}^{1 + 1} = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 9

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 9.2

重写表达式。

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

解题步骤 10

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

解题步骤 11

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

解题步骤 11.2

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

解题步骤 11.3

求解 $x$ 的 $\cos (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 11.3.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$x = x$

解题步骤 11.3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 11.3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x - x = 0$

解题步骤 11.3.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 = 0$

解题步骤 11.3.3

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

所有实数

解题步骤 11.4

求解 $x$ 的 $\cos (x) = - \cos (x)$ 。

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解题步骤 11.4.1

将所有包含 $\cos (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 11.4.1.1

在等式两边都加上 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 11.4.1.2

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$2 \cos (x) = 0$

解题步骤 11.4.2

将 $2 \cos (x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.4.2.1

将 $2 \cos (x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 11.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 11.4.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 11.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 11.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 11.4.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 11.4.4

化简右边。

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解题步骤 11.4.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 11.4.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.4.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 11.4.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.4.6.2

合并分数。

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解题步骤 11.4.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 11.4.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 11.4.6.3

化简分子。

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解题步骤 11.4.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 11.4.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 11.4.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.4.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.4.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.4.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.4.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.4.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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